Voorbeeld: Die ring Z van Gaussiese heelgetalle is 'n eindig gegenereerde Z-module, en Z is Noetherian. Volgens die vorige Stelling is Z 'n Noeterse ring. Stelling: Ringe van breuke van Noeterse ringe is Noeters.
Is Z X 'n Noether-ring?
Die ring Z[X, 1 /X] is Noetherian aangesien dit isomorf is met Z[X, Y]/(XY − 1).
Waarom is Z Noetherian?
Maar daar is net eindig baie ideale in Z wat I1 bevat, aangesien hulle ooreenstem met ideale van die eindige ring Z/(a) deur Lemma 1.21. Daarom kan die ketting nie oneindig lank wees nie, en dus is Z Noetherian.
Wat is 'n Noether-domein?
Enige hoof-ideale ring, soos die heelgetalle, is Noetherian aangesien elke ideaal deur 'n enkele element gegenereer wordDit sluit vernaamste ideale domeine en Euklidiese domeine in. 'n Dedekind-domein (bv. ringe van heelgetalle) is 'n Noetheriese domein waarin elke ideaal deur hoogstens twee elemente gegenereer word.
Hoe bewys jy dat 'n ring Noetherian is?
Stelling 'n Ring R is Noetheries as en slegs as elke nie-leë stel ideale van R 'n maksimum element bevat Bewys ⇐=Laat I1 ⊆ I2 ⊆··· wees 'n stygende ketting van ideale van R. Plaas S={I1, I2, …}. As elke nie-leë stel ideale 'n maksimum element bevat, dan bevat S 'n maksimum element, sê IN.